Smoothed analysis of complex conic condition numbers

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2006-10, Vol.86 (4), p.293-309
• Main Authors: Bürgisser, Peter, Cucker, Felipe, Lotz, Martin
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Condition numbers; Differential geometry; Exact sciences and technology; Geometry; Integral geometry; Mathematics; Numerical analysis; Numerical analysis. Scientific computation; Numerical linear algebra; Sciences and techniques of general use; Smoothed analysis; Volume of tubes
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2006.06.001

Smoothed analysis of complexity bounds and condition numbers has been done, so far, on a case by case basis. In this paper we consider a reasonably large class of condition numbers for problems over the complex numbers and we obtain smoothed analysis estimates for elements in this class depending only on geometric invariants of the corresponding sets of ill-posed inputs. These estimates are for a version of smoothed analysis proposed in this paper which, to the best of our knowledge, appears to be new. Several applications to linear and polynomial equation solving show that estimates obtained in this way are easy to derive and quite accurate. Jusqu'à présent l'analyse régularisée des bornes de complexité et des nombres de conditionnement a été faite au cas par cas. Dans cet article nous considérons une classe assez grande de nombres de conditionnement et nous obtenons des estimations au sens de l'analyse régularisée pour des éléments de cette classe. Ces estimations ne dépendent que des invariants géométriques des ensembles de problèmes mal posés. La version d'analyse régularisée que nous utilisons est nouvelle pour autant que nous sachions. Plusieurs applications à la résolution de systèmes d'équations, linéaires et polynomiales, prouvent que les estimations ainsi obtenues sont faciles à obtenir et assez précises.