Vec and vech operators for matrices, with some uses in jacobians and multivariate statistics

The vec of a matrix X stacks columns of X one under another in a single column; the vech of a square matrix X does the same thing but starting each column at its diagonal element. The Jacobian of a one-to-one transformation X → Y is then|| δ(vecX)/δ(vecY)|| when X and Y each have functionally indepe...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Canadian journal of statistics 1979, Vol.7 (1), p.65-81
Main Authors: Henderson, Harold V., Searle, S. R.
Format: Article
Language:English
Subjects:
Determinants
eigenvalues
fourth moments in general linear model
Jacobians
Kronecker product
linear matrix equations
Linear models
Linear transformations
Mathematical transformations
Mathematical vectors
Matrices
matrix differentiation
Matrix equations
multivariate linear model
patterned matrices
singular value decomposition
Statistical variance
transformations
Vec operator
vech operator
Wishart distribution
Citations: Items that this one cites
Items that cite this one
Online Access:Get full text
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Description
Summary:The vec of a matrix X stacks columns of X one under another in a single column; the vech of a square matrix X does the same thing but starting each column at its diagonal element. The Jacobian of a one-to-one transformation X → Y is then|| δ(vecX)/δ(vecY)|| when X and Y each have functionally independent elements; it is|| δ(vechX)/δ(vechY)|| when X and Y are symmetric; and there is a general form for when X and Y are other patterned matrices. Kronecker product properties of vec(ABC) permit easy evaluation of this determinant in many cases. The vec and vech operators are also very convenient in developing results in multivariate statistics. /// Le "vec" d'une matrice X est un vecteur contenant les colonnes de X. Le "vech" d'une matrice carrée X est un vecteur contenant les éléments des colonnes de X qui sont sous ou sur la diagonale. Le Jacobien d'une transformation bijective X → Y s'écrit alors:|| δ(vecX)/δ(vecY)|| si X et Y ont des éléments fonctionnellement indépendants,|| δ(vechX)/δ(vechY)|| si X et Y sont symétriques; on présente également une formule générale pour le cas où X et Y ont différents motifs. Les propriétés du produit de Kronecker de vec(ABC) facilite l'évalution de ce déterminant dans plusieurs cas. Les opérateurs vec et vech sont aussi utiles pour démontrer des résultats en statistique multivariée.
ISSN:0319-5724
1708-945X
DOI:10.2307/3315017