On the surface characteristics of a mixed constant modulus and cross-correlation criterion for the blind equalization of a MIMO channel

• Published in: Signal processing 1999, Vol.74 (2), p.209-216
• Main Authors: Lambotharan, S., Chambers, J.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Adaptive signal processing; Applied sciences; Blind equalization; Constant modulus algorithms; Detection, estimation, filtering, equalization, prediction; Error surfaces; Exact sciences and technology; Information, signal and communications theory; Multi-user transmission; Signal and communications theory; Signal, noise; Source separation; Telecommunications and information theory
• ISSN: 0165-1684; 1872-7557
• DOI: 10.1016/S0165-1684(98)00212-6

The surface characteristics of a recently proposed constant modulus (CM) and cross-correlation (CC)-based cost function for simultaneous (blind) reconstruction of multiple sources are studied. We explicitly derive the gradient and the Hessian of the CM–CC cost function for binary phase shift keying (BPSK) sources. These analyses show that the parameter which mixes the CM and CC criterion has to be greater than 4 3 to avoid undesirable local minima in the error surface. We further show that some saddle points (due to previous estimated sources) coincide with the origin when the mixing parameter is greater than or equal to 2, hence this is the desirable parameter range as it might reduce the possibility of slow convergence due to the attraction of saddles. Our analytical results are supported by simulations, and provide very good insight into the behaviour of the algorithm, particularly for the selection of a suitable mixing parameter. Es werden die Eigenschaften derjenigen Fläche untersucht, die von einer kürzlich zur gleichzeitigen (blinden) Rekonstruktion mehrerer Quellen vorgeschlagenen Kostenfunktion aufgespannt wird, die auf der konstanten Betragseigenschaft (constant modulus, CM) und der Kreuzkorrelation (cross correlation, CC) beruht. Wir leiten explizit den Gradienten und die Hessesche Matrix der CM–CC Kostenfunktion für binäre Phasenumtastungsquellen (BPSK) her. Diese Analysen zeigen, däs der Parameter zur Kombination des CM und des CC Kriteriums grös̈er als 4/3 sein müs, um unerwünschte lokale Minima in der Fehlerfläche zu vermeiden. Wir zeigen weiters, däs einige Sattelpunkte (die auf zuvor geschätzte Quellen zurückgehen) mit dem Ursprung zusammenfallen, wenn der Kombinationsparameter grös̈er oder gleich 2 ist; demzufolge stellt dies den wünschenswerten Parameterbereich dar, da er die Möglichkeit langsamer Konvergenz zufolge der Attraktion zu den Sattelpunkten zu verringern imstande ist. Unsere analytischen Ergebnisse werden durch Simulationen untermauert und gewähren sehr gute Einsicht in das Verhalten des Algorithmus, insbesondere für die Auswahl eines geeigneten Kombinationsparameters. Nous étudions ici les caractéristiques de surface de fonctions de coût reposant sur un Module Constant (MC) et de Cross-Corrélation (CC) pour la reconstruction simultanée (aveugle) de sources multiples. Nous dérivons explicitement le gradient et le Hessien des fonctions de coût MC et CC pour des sources à déplacement de phase binaire. Ces analyses montrent que l