Asymptotic behavior for nonlocal diffusion equations

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2006-09, Vol.86 (3), p.271-291
• Main Authors: Chasseigne, Emmanuel, Chaves, Manuela, Rossi, Julio D.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Dirichlet boundary conditions; Exact sciences and technology; Fractional Laplacian; Integral equations; Mathematical analysis; Mathematics; Neumann boundary conditions; Nonlocal diffusion; Partial differential equations; Sciences and techniques of general use
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2006.04.005

We study the asymptotic behavior for nonlocal diffusion models of the form u t = J ∗ u − u in the whole R N or in a bounded smooth domain with Dirichlet or Neumann boundary conditions. In R N we obtain that the long time behavior of the solutions is determined by the behavior of the Fourier transform of J near the origin, which is linked to the behavior of J at infinity. If J ˆ ( ξ ) = 1 − A | ξ | α + o ( | ξ | α ) ( 0 < α ⩽ 2 ), the asymptotic behavior is the same as the one for solutions of the evolution given by the α / 2 fractional power of the Laplacian. In particular when the nonlocal diffusion is given by a compactly supported kernel the asymptotic behavior is the same as the one for the heat equation, which is yet a local model. Concerning the Dirichlet problem for the nonlocal model we prove that the asymptotic behavior is given by an exponential decay to zero at a rate given by the first eigenvalue of an associated eigenvalue problem with profile an eigenfunction of the first eigenvalue. Finally, we analyze the Neumann problem and find an exponential convergence to the mean value of the initial condition. Nous étudions le comportement asymptotique pour les modèles de diffusion non-locale de la forme u t = J ∗ u − u dans R N tout entier, ou dans un domaine borné régulier, avec conditions de Dirichlet ou de Neumann. Dans R N , nous obtenons que le comportement en temps grand des solutions est déterminé par le comportement de la tranformée de Fourier de J près de l'origine, lui-même relié au comportement de J à l'infini. Si J ˆ ( ξ ) = 1 − A | ξ | α + o ( | ξ | α ) ( 0 < α ⩽ 2 ), le comportement asymptotique est le même que celui donné par les solutions de l'équation d'évolution avec laplacien fractionnaire d'ordre α / 2 . En particulier, lorsque l'équation non-locale est donnée par un noyau ă support compact, le comportement asymptotique est le même que celui de l'équation de la chaleur, qui est pourtant un modèle local. Concernant le problème de Dirichlet pour le modèle non-local, nous montrons que le comportement asymptotique est donné par une décroissance exponentielle en relation avec la première valeur propre d'un problème associé, et le profil est donné par la première fonction propre. Enfin, nous analysons le problème de Neumann et nous obtenons une convergence exponentielle vers la valeur moyenne de la donnée initiale.