Stochastic homogenization and random lattices

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2007-07, Vol.88 (1), p.34-63
• Main Authors: Blanc, X., Le Bris, C., Lions, P.-L.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Combinatorics. Ordered structures; Exact sciences and technology; General mathematics; General, history and biography; Mathematical analysis; Mathematics; Operator theory; Order, lattices, ordered algebraic structures; Partial differential equations; Random lattices; Sciences and techniques of general use; Stochastic homogenization; Thermodynamic limit
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2007.04.006

We present some variants of stochastic homogenization theory for scalar elliptic equations of the form − div [ A ( x ε , ω ) ∇ u ( x , ω ) ] = f . These variants basically consist in defining stochastic coefficients A ( x ε , ω ) from stochastic deformations (using random diffeomorphisms) of the periodic setting, as announced in [X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, Une variante de la théorie de l'homogénéisation stochastique des opérateurs elliptiques (A variant of stochastic homogenization theory for elliptic operators), C. R. Acad. Sci. Sér. I 343 (2006) 717–727]. The settings we define are not covered by the existing theories. We also clarify the relation between this type of questions and our construction, performed in [X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, A definition of the ground state energy for systems composed of infinitely many particles, Commun. Partial Differential Equations 28 (1–2) (2003) 439–475; X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, The energy of some microscopic stochastic lattices, Arch. Rat. Mech. Anal. 184 (2) (2007) 303–339], of the energy of, both deterministic and stochastic, microscopic infinite sets of points in interaction. Nous présentons dans cet article quelques variantes de la théorie de l'homogénéisation stochastique pour les équations elliptiques scalaires de la forme − div [ A ( x ε , ω ) ∇ u ( x , ω ) ] = f . Ces variantes consistent essentiellement à définir les coefficients A ( x ε , ω ) comme déformations stochastiques (par des difféomorphismes aléatoires) de coefficients périodiques. Ce travail a été annoncé dans [X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, Une variante de la théorie de l'homogénéisation stochastique des opérateurs elliptiques (A variant of stochastic homogenization theory for elliptic operators), C. R. Acad. Sci. Sér. I 343 (2006) 717–727]. Les cas que nous définissons ainsi ne sont pas inclus dans les théories existantes de l'homogénéisation stochastique. Nous établissons également un lien entre ce type de problème et celui d'une définition de l'énergie moyenne d'un système infini de particules, que nous avons traité dans [X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, A definition of the ground state energy for systems composed of infinitely many particles, Commun. Partial Differential Equations 28 (1–2) (2003) 439–475] pour le cas déterministe, et dans [X. Blanc, C. Le Bris, P.-L. Lions, The energy of some microscopic stochastic lattices, Arch. Rat. Mech. Anal. 184 (2) (2007) 303–339] pour le cas stochastique.