Sur l'espace classifiant d'un groupe algébrique linéaire, I

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2014-11, Vol.102 (5), p.972-1013
• Main Authors: Kahn, Bruno, Ngan, Nguyen Thi Kim
• Format: Article
• Language: fre
• Subjects: Cohomologie motivique; Cohomologie étale; Groupes algébriques; Groupes de Chow
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2014.03.006

On donne une version abstraite de la définition par Totaro des groupes de Chow de l'espace classifiant d'un groupe algébrique linéaire G sur un corps k. Elle fournit automatiquement une définition de F(BG) pour des foncteurs F vérifiant quelques axiomes simples. Lorsque F est la cohomologie motivique étale, k est algébriquement clos et G est fini, F(BG) se réduit essentiellement à la cohomologie entière de G. En général, on obtient des suites spectrales de coniveau convergeant vers la cohomologie motivique étale de BG, qui unifient et généralisent des invariants de G considérés antérieurement par Bogomolov et Serre. We give an abstract version of Totaro's definition of the Chow groups of the classifying space of a linear algebraic group G over a field k, so that it yields automatically a definition of F(BG) for functors F satisfying some simple axioms. If F is étale motivic cohomology, k is algebraically closed and G is finite, F(BG) essentially boils down to the integral cohomology of G. In general, we get coniveau spectral sequences converging to the étale motivic cohomology of BG, which unify and generalize invariants of G previously considered by Bogomolov and Serre.