Toric chordality

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2017-11, Vol.108 (5), p.783-807
• Main Author: Adiprasito, Karim
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Chow cohomology; Framework rigidity; Geometry of cycles; Graph chordality; Minkowski weights
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2017.05.017

We study the geometric change of Chow cohomology classes in projective toric varieties under the Weil–McMullen dual of the intersection product with a Lefschetz element. Based on this, we introduce toric chordality, a generalization of graph chordality to higher skeleta of simplicial complexes with a coordinatization over characteristic 0, leading us to a far-reaching generalization of Kalai's work on applications of rigidity of frameworks to polytope theory. In contrast to “homological” chordality, the notion that is usually studied as a higher-dimensional analogue of graph chordality, we will show that toric chordality has several advantageous properties and applications.∘Most strikingly, we will see that toric chordality allows us to introduce a higher version of Dirac's propagation principle.∘Aside from the propagation theorem, we also study the interplay with the geometric properties of the simplicial chain complex of the underlying simplicial complex, culminating in a quantified version of the Stanley–Murai–Nevo generalized lower bound theorem.∘Finally, we apply our technique to give a simple proof of the generalized lower bound theorem in polytope theory and∘prove the balanced generalized lower bound conjecture of Klee and Novik. Nous étudions le changement géométrique des classes de cohomologie de Chow dans les variétés toriques et projectives sous le dual de Weil–McMullen du produit d'intersection avec un élément de Lefschetz. Sur cette base, nous introduisons la chordalité torique, une généralisation de la chordalité graphique à des complexes simpliciaux avec coordonnées réelles. Cela nous amène à une généralisation de étude de Kalai sur les applications de la rigidité structurelle à la théorie des polytopes. Contrairement au cas de la chordalité « homologique », la notion qui est habituellement étudiée comme un analogue de plus grande dimension de la chordalité graphique, nous montrerons que la chordalité torique possède plusieurs propriétés et applications avantageuses. De manière plus frappante, nous verrons que la chordalité torique nous permet d'introduire une version plus générale du principe de propagation de Dirac et Green. Outre le théorème de propagation, nous étudions également l'interaction avec les propriétés géométriques du complexe, culminant en une version quantifiée du théorème de la limite inférieure généralisée de Stanley–Murai–Nevo. Enfin, nous appliquons notre technique pour donner une démonstration simple du théorème de la b