Inverse problems for elliptic equations with power type nonlinearities

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2021-01, Vol.145, p.44-82
• Main Authors: Lassas, Matti, Liimatainen, Tony, Lin, Yi-Hsuan, Salo, Mikko
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Calderón problem; Inverse boundary value problem; Semilinear equation; Transversally anisotropic
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2020.11.006

We introduce a method for solving Calderón type inverse problems for semilinear equations with power type nonlinearities. The method is based on higher order linearizations, and it allows one to solve inverse problems for certain nonlinear equations in cases where the solution for a corresponding linear equation is not known. Assuming the knowledge of a nonlinear Dirichlet-to-Neumann map, we determine both a potential and a conformal manifold simultaneously in dimension 2, and a potential on transversally anisotropic manifolds in dimensions n≥3. In the Euclidean case, we show that one can solve the Calderón problem for certain semilinear equations in a surprisingly simple way without using complex geometrical optics solutions. Dans cet article, on introduit une méthode pour résoudre les problèmes inverses de type Calderón pour les équations semi-linéaires avec des non-linéarités polynomiales. La méthode est basée sur des linéarisations d'ordre supérieur et elle permet de résoudre des problèmes inverses pour certaines équations non linéaires dans les cas où la solution d'une équation linéaire correspondante n'est pas connue. En supposant la connaissance de l'opérateur Dirichlet-Neumann non linéaire, nous déterminons simultanément un potentiel et une variété conforme en dimension 2, et un potentiel sur des variétés transversalement anisotropes de dimensions n≥3. Dans le cas euclidien, nous montrons que l'on peut résoudre le problème de Calderón pour certaines équations semi-linéaires d'une manière étonnamment simple sans utiliser de solutions optiques géométriques complexes.