Non-Kähler Calabi-Yau geometry and pluriclosed flow

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2023-09, Vol.177, p.329-367
• Main Authors: Garcia-Fernandez, Mario, Jordan, Joshua, Streets, Jeffrey
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Bismut connection; Calabi-Yau; Pluriclosed flow
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2023.07.002

Hermitian, pluriclosed metrics with vanishing Bismut-Ricci form give a natural extension of Calabi-Yau metrics to the setting of complex, non-Kähler manifolds, and arise independently in mathematical physics. We reinterpret this condition in terms of the Hermitian-Einstein equation on an associated holomorphic Courant algebroid, and thus refer to solutions as Bismut Hermitian-Einstein. This implies Mumford-Takemoto slope stability obstructions, and using these we exhibit infinitely many topologically distinct complex manifolds in every dimension with vanishing first Chern class which do not admit Bismut Hermitian-Einstein metrics. This reformulation also leads to a new description of pluriclosed flow in terms of Hermitian metrics on holomorphic Courant algebroids, implying new global existence results, in particular on all complex non-Kähler surfaces of Kodaira dimension κ≥0. On complex manifolds which admit Bismut-flat metrics we show global existence and convergence of pluriclosed flow to a Bismut-flat metric, which in turn gives a classification of generalized Kähler structures on these spaces. Les métriques Hermitiennes plurifermées avec forme de Bismut-Ricci nulle donnent une extension naturelle des métriques de Calabi-Yau au cadre des variétés complexes non-Kähler, et apparaissent indépendamment en physique mathématique. Nous réinterprétons cette condition en termes de l'équation d'Hermite-Einstein sur un algébroide de Courant holomorphe associé, et nous appellerons donc ces solutions des métriques de Bismut Hermite-Einstein. Cela donne des obstructions de stabilité de pente de Mumford-Takemoto, et en utilisant celles-ci, nous mettons en évidence, pour toute dimension, une infinité de variétés complexes topologiquement distinctes avec première classe de Chern nulle qui n'admettent pas de métrique Bismut Hermite-Einstein. Cette reformulation conduit également à une nouvelle description du flot plurifermé en termes de métriques hermitienne sur les algébroides de Courant holomorphes, impliquant de nouveaux résultats d'existence globale, en particulier sur toutes les surfaces complexes non-Kähler de dimension de Kodaira κ≥0. Sur les variétés complexes qui admettent une métrique Bismut-plate, nous montrons l'existence globale et la convergence d'un flux plurifermé vers une métrique Bismut-plate, qui à son tour donne une classification des structures de Kähler généralisées sur ces espaces.