CLASSIFICATION DES IDEAUX A DROITE DE A1(k)

• Published in: The Bulletin of the London Mathematical Society 2003-07, Vol.35 (4), p.503-512
• Main Author: KOUAKOU, M. K.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Notes and Papers
• ISSN: 0024-6093; 1469-2120
• DOI: 10.1112/S0024609303002054

Les études récentes sur les idéaux á droite de $A_{1}\left(k\right),$ la premiére algébre de Weyl sur un corps algébriquement clos et de caractéristique nulle $k$, nous montrent que : pour tout idéal $I\neq 0$ á droite de $A_{1}(k)$, il existe $x\in Q\,{=}\,\ffrac( A_{1}( k)),$ et $V\in \mathcal{V}$ tels que : $I\,{=}\,x\mathcal{D}(R,V)$ o\`{u} $\mathcal{V}$ est l'ensemble des sous-espaces primairement décomposables de $k[t]\,{=}\,R$, et $\mathcal{D}( R,V)$ l'idéal á droite $\{ d\in A_{1}( k) /d( R) \subset V\}$. Dans cet article nous montrerons principalement que: pour tout $0\neq I$ idéal á droite de $A_{1} (k), \exists !n\in N,\exists ( x,\sigma ) \in Q^{\ast }\,{\times}\,\Aut_{k} ( A_{1} (k)) :I\,{=}\,x\sigma (\mathcal{D} (R,O (X_{n})))$, oú $X_{n}$ est la courbe d'algébre des fonctions réguliéres : $O (X_{n})\,{=}\,k+t^{n+1}k [t]$. La forme des idéaux décrite ci-dessus permet de voir dans une hypothése de Letzter et Makar-Limanov, pour deux courbes algébriques affines $X$ et $X^{\prime}$ on a : $\mathcal{D} (X) \simeq \mathcal{D} ( X^{\prime}) \Leftrightarrow \co \dim \mathcal{D} (X)\,{=}\,\co \dim \mathcal{D}( X^{\prime})$. Recent studies on right ideals of the first Weyl algebra $A_{1} (k)$ over an algebraic closed field $k$ with characteristic zero show that: for each right ideal $I\neq 0$ of $A_{1} (k)$, there exist $x\in Q=\ffrac ( A_{1} (k))$ and a primary decomposable sub-space $V$ of $k [t] = R$ such that $I=x\mathcal{D} ( R,V )$, where $\mathcal{D} ( R,V ): = \{ d\in A_{1} ( k ) /d ( R ) \subset V \}$ is a right ideal of $A_{1} (k)$. In this paper, we show that for all right ideals $I\neq 0$ of $A_{1} (k), \exists! n\in N,\exists (x,\sigma) \in Q^{\ast}\times \Aut_{k} (A_{1}(k)) :I=x\sigma (\mathcal{D} (R,O( X_{n})))$, where $X_{n}$ denotes the affine algebraic curve with ring of regular functions $O ( X_{n} ) =k+t^{n+1}k [ t ]$. With ideals as described above, one can easily see, under a hypothesis given by Letzter and Makar-Limanov, that for two affine algebraic curves $X$ and $X^{\prime }$, $\mathcal{D} (X) \simeq \mathcal{D} ( X^{\prime}) \Leftrightarrow \co \dim \mathcal{D} ( X ) =\co \dim \mathcal{D}( X^{\prime})$.