Weak approximations for quantile processes of stationary sequences

• Published in: Canadian journal of statistics 1996-12, Vol.24 (4), p.403-430
• Main Authors: Csörgö, Miklós, Yu, Hao
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Approximation; association; Bahadur-Kiefer representations; Distribution functions; Empirical process; Mathematical functions; Mathematical theorems; mixing; Perceptron convergence procedure; Probabilities; quantile process; Random variables; stationarity; Statistical theories; weighted convergence; Weighting functions
• ISSN: 0319-5724; 1708-945X
• DOI: 10.2307/3315325

By studying the deviations between uniform empirical and quantile processes (the so-called Bahadur-Kiefer representations) of a stationary sequence in properly weighted sup-norm metrics, we find a general approach to obtaining weighted results for uniform quantile processes of stationary sequences. Consequently we are able to obtain weak convergence for weighted uniform quantile processes of stationary mixing and associated sequences. Further, by studying the sup-norm distance of a general quantile process from its corresponding uniform quantile process, we find that information at the two end points of the uniform quantile process can be so utilized that this weighted sup-norm distance converges in probability to zero under the so-called Csörgő-Révész conditions. This enables us to obtain weak convergence for weighted general quantile processes of stationary mixing and associated sequences. /// L'étude des déviations entre les processus uniformes empiriques et les processus quantiles, les dénommées représentations Bahadur-Kiefer, d'une séquence stationnaires en sup-métriques adéquatement pondérées, nous révèle une approche générale pour obtenir des résultats pondérés pour les processus uniformes quantiles de séquences stationnaires. Nous pouvons, en conséquence, obtenir une convergence faible pour les processus uniformes quantiles pondérés de séquence stationnaires de mélange et de séquences associées. De plus, l'étude de la distance induite par la sup-norme entre un processus quantile général et ses processus uniformes quantiles correspondants nous révèle que l'information aux deux extrémités du processus uniforme quantile peut être utilisée de telle manière que cette distance induite par la sup-norme et pondérée converge à zéro en probabilité sous les conditions dénommées Csörgő-Révész. Ceci nous permet d'obtenir des convergences faibles pour les processus quantiles généraux pondérés de séquence stationnaires de mélange et de séquences associées.