Extensions of mod p representations of division algebras

• Published in: Journal de theorie des nombres de bordeaux 2024-01, Vol.36 (1), p.45-74
• Main Authors: KEISLING, Andrew, PENTLAND, Dylan
• Format: Article
• Language: English
• ISSN: 1246-7405; 2118-8572; 2118-8572
• DOI: 10.5802/jtnb.1273

Soit F un corps local sur Q p ou F p ((t)) et soit D une algèbre à division centrale simple sur F de degré d. Dans le cas p-adique, on suppose que p > de + 1 où e est le degré de ramification sur Q p ; sinon on suppose seulement que p et d sont premiers entre eux. Pour le sous-groupe I₁ = 1 +ῶ D O D de D ×, on détermine la structure de H¹ (I₁, π) en tant que représentation de D ×/I₁ pour une F̄ p -représentation lisse irréductible quelconque π de D ×. Nous utilisons ceci pour calculer le groupe E x t D × 1 π , π ′ pour des représentations lisses irréductibles quelconques π et π' de D ×. Dans le cas p-adique, via la dualité de Poincaré, nous pouvons calculer les groupes de cohomologie supérieurs et les extensions de degré maximal. Let F be a local field over Q p or F p ((t)), and let D be a central simple division algebra over F of degree d. In the p-adic case, we assume p > de + 1 where e is the ramification degree over Q p ; otherwise, we need only assume p and d are coprime. For the subgroup I₁ = 1 + ω̄ D O D of D × we determine the structure of H¹ (I₁, π) as a representation of D × / I₁ for an arbitrary smooth irreducible F̄p-representation π of D ×. We use this to compute the group E x t D × 1 π , π ′ for arbitrary smooth irreducible representations π and π' of D ×. In the p-adic case, via Poincaré duality we can compute the top cohomology groups and compute the highest degree extensions.