Galois Structure of Ideals in Wildly Ramified Abelian p-Extensions of a p-adic Field, and Some Applications

• Published in: Journal de theorie des nombres de bordeaux 1997-01, Vol.9 (1), p.201-219
• Main Author: BYOTT, Nigel P.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Algebra; Exact sciences and technology; Galois theory; Integers; Mathematical integrals; Mathematical rings; Mathematical theorems; Mathematics; Number theory; Sciences and techniques of general use
• ISSN: 1246-7405; 2118-8572
• DOI: 10.5802/jtnb.196

Soit K une extension unie de ℚp d'indice de ramification e, et soit L/K une p-extension abélienne finie de groupe de Galois Γ et d'indice de ramification pn. Nous donnons un critère en termes des nombres de ramification ti permettant de décider lorsqu'un idéal fractionnaire ${\mathfrak{P}^h}$ de l'anneau de valuation S de L peut être libre sur son ordre associé $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;{\mathfrak{P}^h}} \right)$. En particulier, si tn – ⌊tn/p⌋ < pn-1e, la codifférente ne peut être libre sur son ordre associé que si ti ≡ -1 (mod pn) pour tout i. Nous déduisons de cela trois conséquences. Premièrement, si $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;S} \right)$ est un ordre de Hopf et si S/R est une $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;S} \right)$-extension galoisienne, où R est l'anneau de valuation de K, alors ti = -1 (mod pn) pour tout i. Deuxièmement, si K = kr et L = km+r sont des corps de points de division d'un groupe de Lubin-Tate, avec m > r et k ≠ ℚp, alors S n'est pas libre sur $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;S} \right)$. Troisièmement, ces extensions km+r/kr possèdent deux structures galoisiennes de Hopf différentes, mettant en évidence des comportements différents au niveau des entiers. Let K be a finite extension of ℚp with ramification index e, and let L/K be a finite abelian p-extension with Galois group Γ and ramification index pn. We give a criterion in terms of the ramification numbers ti for a fractional ideal ${{\mathfrak{P}^h}}$ of the valuation ring S of L not to be free over its associatorder $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;{\mathfrak{P}^h}} \right)$. In particular, if tn - ⌊tn/p⌋ < pn-1e then the inverse different can be free over its associated order only when ti ≡ -1 (mod pn) for all i. We give three consequences of this. Firstly, if $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;S} \right)$ is a Hopf order and S is $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;S} \right)$-Galois then ti ≡ -1 (mod pn) for all i. Secondly, K = kr, L = km+r are Lubin-Tate division fields, with m > r and k ≠ ℚp, then S is not free over $\mathfrak{A}\left( {K\Gamma ;S} \right)$. Thirdly, these extensions km+r/kr admit two Hopf Galois structures exhibiting different behaviour at integral level.