Explicit bounds for split reductions of simple abelian varieties

• Published in: Journal de theorie des nombres de bordeaux 2012-01, Vol.24 (1), p.41-55
• Main Author: Achter, Jeffrey D.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Algebra; Algebraic geometry; Commutative rings and algebras; Exact sciences and technology; Gajdas; Mathematical rings; Mathematics; Number theory; Polynomials; Prime numbers; Quaternion algebra; Sciences and techniques of general use
• ISSN: 1246-7405; 2118-8572
• DOI: 10.5802/jtnb.787

Soit X/K une variété abélienne absolument simple, définie sur un corps de nombres ; nous étudions comment les réductions Xp tendent à être simples également. Nous montrons que si End(X) est une algèbre de quaternions définie, alors la réduction Xp est géométriquement isogène au self-produit d'une variété abélienne absolument simple, ce pour p dans un ensemble de densité strictement positive, alors que si X est de type Mumford, Xp est simple pour presque tout p. Pour une large classe de variétés abéliennes avec anneau d'endomorphismes absolus commutatif, nous donnons une borne supérieure explicite pour la croissance de l'ensemble des premiers de réduction non-simple. Let X/K be an absolutely simple abelian variety over a number field; we study whether the reductions Xp tend to be simple, too. We show that if End(X) is a definite quaternion algebra, then the reduction Xp is geometrically isogenous to the self-product of an absolutely simple abelian variety for p in a set of positive density, while if X is of Mumford type, then Xp is simple for almost all p. For a large class of abelian varieties with commutative absolute endomorphism ring, we give an explicit upper bound for the growth of the set of primes of non-simple reduction.