Polytopes and $C^1$-convex bodies

• Published in: Discrete mathematics and theoretical computer science 2014-01, Vol.DMTCS Proceedings vol. AT,... (Proceedings), p.277-288
• Main Authors: Adiprasito, Karim, Samper, José Alejandro
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: [info.info-dm] computer science [cs]/discrete mathematics [cs.dm]; [math.math-co] mathematics [math]/combinatorics [math.co]; approximation theory; Combinatorics; Computer Science; convex bodies; Discrete Mathematics; f-vector theory; geometric combinatorics; lower bound theorem; Mathematics; polytopes
• ISSN: 1365-8050; 1462-7264; 1365-8050
• DOI: 10.46298/dmtcs.2399

The face numbers of simplicial polytopes that approximate $C^1$-convex bodies in the Hausdorff metric is studied. Several structural results about the skeleta of such polytopes are studied and used to derive a lower bound theorem for this class of polytopes. This partially resolves a conjecture made by Kalai in 1994: if a sequence $\{P_n\}_{n=0}^{\infty}$ of simplicial polytopes converges to a $C^1$-convex body in the Hausdorff distance, then the entries of the $g$-vector of $P_n$ converge to infinity. Nous étudions les nombres de faces de polytopes simpliciaux qui se rapprochent de $C^1$-corps convexes dans la métrique Hausdorff. Plusieurs résultats structurels sur le skeleta de ces polytopes sont recherchées et utilisées pour calculer un théorème limite inférieure de cette classe de polytopes. Cela résout partiellement une conjecture formulée par Kalai en 1994: si une suite $\{P_n\}_{n=0}^{\infty}$ de polytopes simpliciaux converge vers une $C^1$-corps convexe dans la distance Hausdorff, puis les entrées du $g$-vecteur de $P_n$ convergent vers l’infini.