Complete solution of the Marchenko equation for a simple model system/Martsenko vorrandi taielik lahendus lihtsa mudelsusteemi jaoks

• Published in: Proceedings of the Estonian Academy of Sciences 2016-09, p.267
• Main Author: Selg, Matti
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Differential equations, Partial; Functions, Inverse; Mathematical research; Scattering (Mathematics)
• ISSN: 1736-6046
• DOI: 10.3176/proc.2016.3.07

An example of full solution of the inverse scattering problem on the half line (from 0 to (tm)) is presented. For this purpose, a simple analytically solvable model system (Morse potential) is used, which is expected to be a reasonable approximation to a real potential. First one calculates all spectral characteristics for the fixed model system. This way one gets all the necessary input data (otherwise unobtainable) to implement powerful methods of the inverse scattering theory. In this paper, the multi-step procedure to solve the Marchenko integral equation is described in full detail. Several important analytic properties of the Morse potential are unveiled. For example, a simple analytic algorithm to calculate the phase shift is derived. Key words: inverse scattering, Marchenko equation, Levinson theorem, Riemann-Siegel function. Lihtsa mudelsusteemi naitel on kirjeldatud Martsenko integraalvorrandil baseeruvat hajumisteooria poordulesande lahendusskeemi poolteljel nullist lopmatuseni. U lesanne on uheselt lahenduv siis ja ainult siis, kui uuritava kvantsusteemi jaoks on teada taielik vaatlusandmete kogum ehk jargmised spektraalkarakteristikud: 1) koigi diskreetsete energianivoode asukoht, 2) faasinihke kogu energiasoltuvus (nullist lopmatuseni), 3) uks taiendav parameeter iga diskreetse seisundi jaoks, mis maarab selle seisundi lainefunktsiooni normeeringu. Mistahes reaalse susteemi jaoks on nimetatud karakteristikud teada uksnes ligikaudu, mistottu hajumisteooria poordulesande lahendusskeeme on ulimalt keeruline realiseerida. Selle pohimottelise takistuse uletamiseks on kasutatud kunstlikku votet. Nimelt on vaatluse alla voetud uks lihtsamaid kvantsusteeme--uheainsa vonkenivooga Morse potentsiaal -, mille jaoks saab koik vajalikud spektraalkarakteristikud kuitahes tapselt valja arvutada. Oma olemuselt on niisugune probleemipustitus muidugi tautoloogiline: potentsiaal, mis keeruka mitmeetapilise poordprotseduuri abil taastatakse, on ju niigi teada. Samas annab selline lahenemisviis suureparase voimaluse poordulesande erinevate lahendusskeemide testimiseks ja protseduuri spetsiifiliste isearasuste tundmaoppimiseks. Need teadmised voivad osutuda vaga kasulikeks ka reaalsete kvantsusteemide uurimisel poordhajumisteooria meetoditega. See on keerukas valdkond, mille areng on viimastel kumnenditel peaaegu seiskunud. Toepoolest, vaatamata uurijate kasutuses olevale tohutule arvutusvoimsusele, ei leidu erialakirjanduses hajumisteooria poordulesande lahendamis