A semilinear elliptic equation with a mild singularity at u=0: Existence and homogenization

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2017-01, Vol.107 (1), p.41-77
• Main Authors: Giachetti, Daniela, Martínez-Aparicio, Pedro J., Murat, François
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Analysis of PDEs; Existence; Homogenization; Mathematics; Semilinear equations; Singularity at [formula omitted]; Stability; Uniqueness
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2016.04.007

In this paper we consider singular semilinear elliptic equations whose prototype is the following{−divA(x)Du=f(x)g(u)+l(x)inΩ,u=0on∂Ω, where Ω is an open bounded set of RN,N≥1, A∈L∞(Ω)N×N is a coercive matrix, g:[0,+∞[→[0,+∞] is continuous, and 0≤g(s)≤1sγ+1 for every s>0, with 01 if N=2, r=1 if N=1, f(x),l(x)≥0 a.e. x∈Ω. We prove the existence of at least one nonnegative solution as well as a stability result; we also prove uniqueness if g(s) is nonincreasing or “almost nonincreasing”. Finally, we study the homogenization of these equations posed in a sequence of domains Ωε obtained by removing many small holes from a fixed domain Ω. Dans cet article nous étudions des équations elliptiques semi-linéaires singulières dont le prototype est le suivant{−divA(x)Du=f(x)g(u)+l(x)dansΩ,u=0sur∂Ω, où Ω est un ouvert borné de RN,N≥1, A∈L∞(Ω)N×N est une matrice coercive, g:[0,+∞[→[0,+∞] est une fonction continue qui vérifie 0≤g(s)≤1sγ+1 pour tout s>0, avec 01 si N=2 et r=1 si N=1, f(x),l(x)≥0 p.p. x∈Ω. Nous démontrons l'existence d'au moins une solution positive de cette équation et un résultat de stabilité ; de plus nous démontrons l'unicité de la solution si g(s) est décroissante ou “presque décroissante”. Nous étudions enfin l'homogénéisation d'une suite de ces équations posées dans des domaines Ωε obtenus en perforant un domaine fixe Ω par des trous de plus en plus petits et de plus en plus nombreux.