Homogenization of quasilinear elliptic problems with nonlinear Robin conditions and L1 data

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2018-12, Vol.120, p.91-129
• Main Authors: Donato, Patrizia, Guibé, Olivier, Oropeza, Alip
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: [formula omitted] data; Analysis of PDEs; Homogenization; Mathematics; Periodic unfolding method; Renormalized solutions; Robin conditions
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2017.10.002

In the present paper, we study the homogenization of a class of quasilinear elliptic problems in a periodically perforated domain Ωε, with L1 data and nonlinear Robin conditions on the boundary of the holes. Considering that we deal with L1 data, we cannot have solutions in H1(Ωε). Therefore, we use here the convenient notion of renormalized solutions. For the homogenization, we use the periodic unfolding method but we can only apply it to the truncated solutions, which are in H1(Ωε). Hence, as a main difficulty, we have to carefully describe the limits of the truncated unfolded solutions and of their gradients. This allow us to prove that we obtain at the limit an unfolded renormalized problem, as well as a (renormalized) homogenized problem in Ω. Dans cet article nous étudions le comportement asymptotique d'une équation quasi-linéaire dans un domaine périodiquement perforé, avec une donnée dans L1 et avec des conditions de type Robin non linéaire sur le bord des trous. La donnée étant peu régulière, nous utilisons ici la notion de solution renormalisée. Quand la taille des trous tend vers 0, nous étudions le comportement asymptotique de la solution renormalisée à l'aide de la méthode de l'éclatement périodique. La principale difficulté vient du manque de régularité de la solution, qui n'appartient pas à H1 en général, et de termes non linéaires dans la formulation renormalisée. En travaillant sur les tronquées qui appartiennent à H1 et sur le problème “éclaté” nous passons à la limite et nous obtenons un problème “éclaté” renormalisé ainsi qu'un problème homogénéisé renormalisé.