Explicit bounds for the high-frequency time-harmonic Maxwell equations in heterogeneous media

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées 2023-11, Vol.179, p.183-218
• Main Authors: Chaumont-Frelet, Théophile, Moiola, Andrea, Spence, Euan A.
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Analysis of PDEs; Heterogeneous media; High frequency; Mathematics; Maxwell; Transmission problem; Wellposedness
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2023.09.004

We consider the time-harmonic Maxwell equations posed in R3. We prove a priori bounds on the solution for L∞ coefficients ϵ and μ satisfying certain monotonicity properties, with these bounds valid for arbitrarily-large frequency, and explicit in the frequency and properties of ϵ and μ. The class of coefficients covered includes (i) certain ϵ and μ for which well-posedness of the time-harmonic Maxwell equations had not previously been proved, and (ii) scattering by a penetrable C0 star-shaped obstacle where ϵ and μ are smaller inside the obstacle than outside. In this latter setting, the bounds are uniform across all such obstacles, and the first sharp frequency-explicit bounds for this problem at high-frequency. On considère les équations de Maxwell en régime harmonique posées dans R3. On prouve des bornes a priori sur la solution pour des coefficients ϵ et μL∞ satisfaisant certaines conditions de monotonicité. Ces bornes sont valides pour des fréquences arbitrairement grandes, et la dépendance en la fréquence et les propriétés des coefficients y est complètement explicite. La classe de coefficients considérée inclut (i) certain coefficients ϵ et μ pour lesquels le caractère bien posé des équations de Maxwell n'avait pas encore été établi, et (ii) le problème de diffraction par un obstacle pénétrable étoilé et de classe C0 avec ϵ et μ plus petits à l'intérieur de l'obstacle qu'à l'extérieur. Dans ce dernier cas, nos bornes sont uniformes sur toute la famille de tels obstacles, et représentent les premières bornes optimales en régime haute fréquence.