Which Notion of Implication Is the Right One? From Logical Considerations to a Didactic Perspective

• Published in: Educational studies in mathematics 2003, Vol.53 (1), p.5-34
• Main Author: Durand-Guerrier, Viviane
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Cognitive Processes; Education; Equivalence relation; Higher Education; Humanities and Social Sciences; Implications; Logical antecedents; Logical Thinking; Material implication; Mathematical theorems; Mathematics; Mathematics Education; Mazes; Questionnaires; Reasoning; Rhombuses; Rules of inference; Statistical Inference; Thinking Skills
• ISSN: 0013-1954; 1573-0816
• DOI: 10.1023/A:1024661004375

L'implication, qui est au cœur du raisonnement mathématique, est source d'importantes difficultés repérées par de nombreux auteurs. Dans cet article, nous soutenons la thèse selon laquelle ces difficultés sont dans une large mesure une conséquence de la complexité de cette notion. Pour étudier cette complexité, nous nous placerons dans la théorie sémantique de la vérité due à Tarski, ce qui nous permettra de clarifier les différents aspects de l'implication en jeu dans l'activité mathématique: relation entre propositions, implication universellement quantifiée, implication logiquement valide, règles d'inférence. Nous montrerons que pour cela, il est nécessaire d'étendre la définition classique de l'implication entre propositions pour considérer une relation entre phrases ouvertes contenant au moins une variable libre. Ceci permet de reconnaître que dans certains cas, la valeur de vérité des énoncés proposés dans la classe de mathématiques n'est pas contrainte par la situation, ceci rentrant en conflit avec la position selon laquelle, en mathématiques, un énoncé est soit vrai, soit faux. La pertinence didactique de ce cadre théorique sera illustrée par l'analyse de deux situations problématiques et par la présentation de quelques résultats expérimentaux issus de nos recherches sur la compréhension de l'implication chez des étudiants de première année universitaire. /// Implication is at the very heart of mathematical reasoning. As many authors have shown, pupils and students experience serious difficulties in using it in a suitable manner. In this paper, we support the thesis that these difficulties are closely related with the complexity of this notion. In order to study this complexity, we refer to Tarski's semantic truth theory, which contributes to clarifying the different aspects of implication: propositional connective, logically valid conditional, generalized conditional, inference rules. We will show that for this purpose, it is necessary to extend the classical definition of implication as a relation between propositions to a relation between open sentences with at least one free variable. This permits to become aware of the fact that, in some cases, the truth-value of a given mathematical statement is not constrained by the situation, contrary to the common standpoint that, in mathematics, a statement is either true or false. In the present paper, the didactic relevance of this theoretical stance will be illustrated by an analysis of two problemat