ÜBER EINE BISHER NOCH NICHT BENÜTZTE ERWEITERUNG DES FINITEN STANDPUNKTES

• Published in: Dialectica 1958-09, Vol.12 (3/4), p.280-287
• Main Author: Gödel, Kurt
• Format: Article
• Language: ger
• ISSN: 0012-2017; 1746-8361

P. Bernays hat darauf hingewiesen, dass man, um die Widerspruchsfreiheit der klassischen Zahlentheorie zu beweisen, den Hilbertschen finiten Standpunkt dadurch erweitern muss, dass man neben den auf Symbole sich beziehenden kombinatorischen Begriffen gewisse abstrakte Begriffe zulässt. Die abstrakten Begriffe, die bisher für diesen Zweck verwendet wurden, sind die der konstruktiven Ordinalzahltheorie und die der intuitionistischen Logik. Es wird gezeigt, dass man statt dessen den Begriff einer berechenbaren Funktion endlichen einfachen Typs über den natürlichen Zahlen benutzen kann, wobei keine anderen Konstruktionsverfahren für solche Funktionen nötig sind, als einfache Rekursion nach einer Zahlvariablen und Einsetzung von Funktionen ineinander (mit trivialen Funktionen als Ausgangspunkt). P. Bernays has pointed out that, in order to prove the consistency of classical number theory, it is necessary to extend Hilberths finitary standpoint by admitting certain abstract concepts in addition to the combinatorial concepts referring to symbols. The abstract concepts that so far have been used for this purpose are those of the constructive theory of ordinals and those of intuitionistic logic. It is shown that the concept of a computable function of finite simple type over the integers can be used instead, where no other procedures of constructing such functions are necessary except simple recursion by an integral variable and substitution of functions in each other (starting with trivial functions).