Robust nonparametric hypothesis tests for differences in the covariance structure of functional data

• Published in: Canadian journal of statistics 2024-03, Vol.52 (1), p.43-78
• Main Authors: Ramsay, Kelly, Chenouri, Shoja'eddin
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: Alternatives; Competitors; Covariance; Covariance operator; Eigenvalues; functional data; Hypotheses; hypothesis testing; Invariance; nonparametric; Null hypothesis; Operators; Populations; robust; Robustness; Simulation; Tests; Transformation
• ISSN: 0319-5724; 1708-945X
• DOI: 10.1002/cjs.11767

We develop a group of robust, nonparametric hypothesis tests that detect differences between the covariance operators of several populations of functional data. These tests, called functional Kruskal–Wallis tests for covariance, or FKWC tests, are based on functional data depth ranks. FKWC tests work well even when the data are heavy‐tailed, which is shown both in simulation and theory. FKWC tests offer several other benefits: they have a simple asymptotic distribution under the null hypothesis, they are computationally cheap, and they possess transformation‐invariance properties. We show that under general alternative hypotheses, these tests are consistent under mild, nonparametric assumptions. As a result, we introduce a new functional depth function called L2‐root depth that works well for the purposes of detecting differences in magnitude between covariance kernels. We present an analysis of the FKWC test based on L2‐root depth under local alternatives. Through simulations, when the true covariance kernels have an infinite number of positive eigenvalues, we show that these tests have higher power than their competitors while maintaining their nominal size. We also provide a method for computing sample size and performing multiple comparisons. Résumé Les auteurs de cet article développent un ensemble de tests d'hypothèses robustes et non paramétriques pour détecter les différences entre les opérateurs de covariance de plusieurs populations de données fonctionnelles. Ces tests, appelés tests de Kruskal–Wallis fonctionnels pour la covariance ou tests FKWC, sont basés sur les classements de profondeur de données fonctionnelles. Les tests FKWC sont efficaces même avec des données à queues lourdes, comme le démontrent à la fois les simulations et la théorie. Ils offrent également plusieurs autres avantages : ils ont une distribution asymptotique simple sous l'hypothèse nulle, ils sont peu coûteux en termes de calcul et ils possèdent des propriétés d'invariance par transformation. Les auteurs montrent que dans le cadre d'hypothèses alternatives générales, ces tests sont convergents sous de faibles hypothèses non paramétriques. Suite à quoi, ils introduisent une nouvelle fonction de profondeur fonctionnelle appelée profondeur racine‐L2 qui convient parfaitement à l'identification des différences de grandeur entre les noyaux de covariance. Ensuite, ils présentent une analyse du test FKWC basée sur la profondeur de racine‐L2 sous des contre‐hypothèses locales. E