Testing uniformity for the case of a planar unknown support

• Published in: Canadian journal of statistics 2012-06, Vol.40 (2), p.378-395
• Main Authors: Berrendero, José R., Cuevas, Antonio, Pateiro-López, Beatriz
• Format: Article
• Language: English
• Subjects: 62G20; Approximation; Convexity; distance to boundary; Distance to boundary test; Distribution; Distribution functions; Estimating techniques; Estimation; Estimators; Hypotheses; Hypothesis testing; MSC 2010: Primary 62G10; Null hypothesis; Probability distribution; Random sampling; Random variables; Sampling distributions; secondary 62G05; secondary 62G05, 62G20; set estimation; Significance level; Simulation; Statistical methods; Statistical models; Statistical theories; Studies; Uniformity; uniformity test; λ-convexity (r-convexity)
• ISSN: 0319-5724; 1708-945X
• DOI: 10.1002/cjs.10140

A new test is proposed for the hypothesis of uniformity on bi-dimensional supports. The procedure is an adaptation of the "distance to boundary test" (DB test) proposed in Berrendero, Cuevas, & Vázquez-Grande (2006). This new version of the DB test, called DBU test, allows us (as a novel, interesting feature) to deal with the case where the support S of the underlying distribution is unknown. This means that S is not specified in the null hypothesis so that, in fact, we test the null hypothesis that the underlying distribution is uniform on some support S belonging to a given class C. We pay special attention to the case that is either the class of compact convex supports or the (broader) class of compact λ-convex supports (also called r-convex or α-convex in the literature). The basic idea is to apply the DB test in a sort of plug-in version, where the support S is approximated by using methods of set estimation. The DBU method is analysed from both the theoretical and practical point of view, via some asymptotic results and a simulation study, respectively. Un nouveau test est proposé pour l'hypothèse d'uniformité sur des domaines bidimensionnels. La procédure est une adaptation du test sur la « distance à la frontière » (test DB) proposé par Berrendo, Cuevas et Vãzquez-Grande (2006). Cette nouvelle version du test DB, appelée test DBU, permet (comme caractéristique nouvelle et intéressante) de considérer le cas où le domaine S de la distribution sous-jacente est inconnu. Ceci signifie que S n'est pas spécifié par l'hypothèse nulle et, en réalité, nous confrontons l'hypothèse nulle que la distribution sous-jacente est uniforme sous un certain domaine S appartement à une classe donnée C. Nous portons une attention particulière au cas où C est la classe des domaines compacts et convexes ou bien à une classe (plus générales des domaines compacts et λ-convexe (aussi appelée dans la littérature r-convexe ou α-convexe). L'idée de base est d'appliquer une substitution (« plug-in») au test DB dans laquelle le domaine S est approché en utilisant des méthodes d'estimation d'ensembles. Nous analysons la méthode DBU tant du point de vue théorique que pratique à l'aide respectivement de quelques résultats asymptotiques et d'une étude de simulation.